Question

导函数 求解！

已知函数f（x）=（ax-6）/(x²+b)的图像在点M（-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0。（1）求函数y=f（x）的解析式（2）求函数y=f(x)的单调区间.

Answer 1

(1)
f(x) = (ax- 6)(x²+b)⁻¹
f(-1) = (-a-6)/(b+1)
M(-1, (-a-6)/(b+1))
M在切线上: -1 -2(a+6)/(b+1) + 5 = 0
a = 2(b-2) (i)
f'(x) = a(x²+b)⁻¹ + (ax -6)(-1)(x²+b)⁻²(2x) = [ax²+ab -2x(ax-6)]/(x²+b)²
= (-ax² + 12x + ab)/(x²+b)²
f'(-1) = (-a -12 + ab)/(b+1)²
切线方程: x + 2y + 5 = 0, y = -x/2 -5/2, 斜率= -1/2
(-a -12 + ab)/(b+1)² = -1/2
(b+1)² = 2a + 24 - 2ab (ii)
联立(i)(ii): b = 3, a = 2, f(x) = 2(x-3)/(x² +3)
或b = -1, a = -6, f(x) = 2(x-3)/(x² +3) = -6/(x - 1)

(2)
(a) f(x) = 2(x-3)/(x² +3)
f'(x) = -2(x² -6x -3)/(x² + 3)²
f'(x) = 0, x² -6x -3 = 0, x = 3±2√3
分母总为正, 分子-2(x² -6x -3) 为开向下的抛物线, 与轴的交点为(3+2√3, 0), (3-2√3, 0)
x < 3-2√3或 x >3+2√3时, f'(x) < 0, 减函数
3-2√3 < x < 3 + 2√3时, f'(x) > 0, 增函数

(b) f(x) = -6/(x - 1)
此为双曲线y = -6/x向右平移一个单位而来，在定义域内为增函数

Answer 2

由题意知，M点在f(x)的图像上。带入解a,b的代数式。在由切线方程，对函数求导就可以求a,b的值了。带入就得函数y的解析式了。由函数的单调性就可以求了。

Answer 3

由已知点M（-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0可求得切点M坐标和切线斜率，从而知道了f(x)在-1处导数值，分别代入即可得a b