Question

已知x满足不等式：2（log1/2 x）²+7log1/2 x +3≤0

已知x满足不等式：2（log1/2 x）²+7log1/2 x +3≤0，则函数f(x)=(log2 x/4)·(log2 x/2)的最大值和最小值分别为
作业题，过程最好详细没错。

Answer 1

令t=log1/2 x
所以
2（log1/2 x）²+7log1/2 x +3≤0

变为
2t^2+7t+3<=0
(2t+1)(t+3)<=0
两个零点-3<-1/2
所以解为
-3<=t<=-1/2
f(x)=(log2 x/4)·(log2 x/2)

=(log 2 x-log 2 4)(log 2 x -log 2 2)
=(-log 1/2 x-log 2 4)(-log 1/2 x -log 2 2)
=(-t-2)(-t-1)
=t^2+3t+2
=(t+3/2)^2+2-(3/2)^2
=(t+3/2)^2-1/4
开口向上，对称轴在t=-3/2
而在-3<=t<=-1/2上
所以最小值在顶点，t=-3/2，f(x)=-1/4,
此时log 1/2 x=-3/2, x=(1/2)^(-3/2)=2^(3/2)=2根号2

最大值在离对称轴最远的t=-3, f(x)=(-3)^2+3(-3)+2=2,
此时 log1/2 x=-3, x=(1/2)^(-3)=2^3=8

所以x=2根号2时，f(x)最小为-1/4
x=8时，f(x)最大为2

追问

最小不应该是3/4么。

追答

为啥？代入x=2^(3/2)=(1/2)^(-3/2)
(log2 x/4)·(log2 x/2)

=(log2 x-log 2 4)(log 2 x- log 2 2)
=(3/2-2)(3/2-1)
=(-1/2)(1/2)
=-1/4

2（log1/2 x）²+7log1/2 x +3

=2(-3/2)^2+7(-3/2)+3
=9/2-21/2+3
=-3<0成立

所以-1/4没问题

Answer 2

设t=log1/2 x t∈R
2t^2+7T+3=<=0
则t∈[-3,-0.5]
则x∈[根号2,8]
又f（x）=（log2x-2）（log2x-1）=（log2x）2-3log2x+2
设log2x=m 因为x∈[根号2,8] m∈[0.5,3]
f(x)=m^2-3m+2 m∈[0.5,3]
当m=1.5时取到最小值 f(x)=-1/4
当m=3时取到最大值 f(x)=2

Answer 3

化简第一个式子，即设log1/2x=y,则得2y^2+7y+3小于等于0，则y大于等于-3小于等于-1/2，而log2x/4=log2x-log2 4,log2x/2=log2 x-log2 2,接下来用换底公式把log2x变为log1/2x就出来了