Question

线性代数疑问？

N阶矩阵A的伴随矩阵不等于0，若a1,a2,a3,a4是非齐次线性方程组AX=b的互不相等的解，则对应齐次线性方程组AX=0的基础解系仅含一个非零解向量？而不是不存在，没分了不好意思，求教

Answer 1

首先你要知道。A*的秩只可能有3种，就是0,1，n至于是那种，和A有关。
如果A的秩是n，A*秩是n
A的秩是n-1 ，A*秩是1
A的秩<n-1，A*秩是0

这题里面，A*不是0矩阵，那么他的秩只可以是1或者是n
如果他的秩是n，那么A秩也是n，那么n-r（A）=0 也就是Ax=0只有0解，但是现在a1,a2是AX=b的不同解，所以a1-a2,显然是Ax=0的非零解，就矛盾了。
所以A*的秩肯定是1，A的秩也肯定是n-1
n-r（A）=n-（n-1）=1 所以就是只有一个非零解向量嘛
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明白了木有哇少年~~

Answer 2

有个定理，R(A*)=n,若R(A)=n；
=1,若R(A)=n-1；
=0，若R(A)<n-1
因为A*不为零，所以R(A*)>0,故R(A)=n或n-1
又非齐次线性方程组AX=b有无穷多解，所以R(A)<n，综上有R(A)=n-1,故齐次方程组AX=0基础解系恰有一个非零解向量。