Question

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0 一条斜率等于1的直线l与圆C交于A B两点 若坐标原点O在以AB为直径的圆内

求直线l在y轴上的截距范围

Answer 1

设AB中点为D，直线L的方程为y=X+b 带入圆的方程中得2X^2+2(b+1)X+（b-2）^2=0
得D点坐标为（-（b+1）/2,(b-1)/2）
再算出圆心到直线L的距离，通过勾股定理算出以AB为直径的圆的半径R
DO<R时，坐标原点就在以AB为直径的圆内，即可得出b的范围，即直线l在y轴上的截距范围
（具体数字不太好打，所以你自己算一下，答案是-4<b<1）

Answer 2

圆C: (x-1)^2 + (y + 2)^2 = 9, C(1, -2), r = 3
设l在y轴上的截距为c, 方程为y = x + c, x - y + c =0
C与l的距离d = |1 + 2 + c|/√2 = |c+3|/√2
以AB为直径的圆半径R = √(r^2 - d^2) = √[9 -(c+3)^2/2]
原点O在以AB为直径的圆内, 原点与l的距离d' = |0 -0+c|/√2 =|c|/√2
d' < R
|c|/√2 < √[9 -(c+3)^2/2]
c^2/2 < 9 - (c+3)^2/2
2c^2 + 6c -9 < 0
(-3 - 3√3)/2 < c < (-3 + 3√3)/2