Question

高一必修一数学题 求大神解答

函数y=f(x)对任意x y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立，且x>0时f(x)>1，若不等式f(a^2+a-5)<2的解集为{a|-3<a<2}，则f(2012)=?

Answer 1

解：很显然的是，-3<a<2是不等式a^2+a-6<0的解集
而此不等式等价于a^2+1-5<1
根据增函数特点有f(1)=2
根据函数的表达式f(0)=1
很容易求出来n>0,且n是整数的时候，存在f(n)=n+1
此性质可用数学归纳法来证明之
很显然n=1时，成立
设当n=k,k>=1时，亦成立，故而f(k)=k+1
则有，f(k+1)=f(k)+f(1)-1=f(k)+2-1=k+1+1
很显然当n=k+1时，性质亦成立
故而对于任意的大于0的整数n，存在f(n)=n+1
故而f(2012)=2013

追问

为什么等价于？

追答

a^2+a-6<0
（a+2）（a-3）<0
解得：-2<a<3
所以不等式a^2+a-6<0的解集为{a|-3<a<2}

追问

f(1)等于2怎么算？

追答

令x=y=0，则得f（0+0）=f（0）+f（0）-1，所以f（0）=1
设x10),那么f（x2）=f（x1+b）=f（x1）+f（b）-1，
因为b>0，所以f（b）-1>0,所以f（x2）>f(x1),所以f（x）为增函数。
有当-3<a<2时，a^2+a-5的范围是（-21/4，1），
因为函数是增函数且f（0）=1，所以有f（1）=2。

Answer 2

设g（X）=f（X）-1，则g（X十Y）=g（X）+g（Y）
令X=Y=O知g（O）=O，令X+Y=O知g（X）为奇函数（这两句好像没什么用）
f（1)==>g（1）=1由g（o）=O知g（n）=n所以g（2O12）=2O12所以f（2Ol2）=2Ol3

追问

没懂