Question

二次函数f(x)满足f(1-x)=f（1+x),f(0）=3，且图像在x轴上截得的线段长为4，1.求f(x)的解析式，

2.设函数g(x)=f（x)-2(1-m)x,若g(x)在区间【-2,2】上是单调函数，求实数m的取值范围，求函数g(x)在x∈【0,2】的最大值

Answer 1

1、由 f(1-x)=f(1+x) 可知，抛物线对称轴为 x= 1 ，
而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 ，因此抛物线与 x 轴的交点为（-1，0）、（3，0），
设 f(x)=a(x+1)(x-3) ，则 f(0)=3 得 3=a*1*(-3) ，所以 a= -1 ，
因此 f(x)= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。
2、g(x)=f(x)-2(1-m)x= -x^2+2mx+3= -(x-m)^2+m^2+3 ，对称轴 x= m ，
由于 g(x) 在 [-2，2] 上是单调函数，
因此 m<= -2 或 m>=2 ，
当 m<= -2 时，g(x) 在 [0，2] 上为减函数，最大值为 g(0)= 3 ，

当 m>= 2 时，g(x) 在 [0，2] 上为增函数，最大值为 g(2)=4m-1 。

Answer 2

1、由 f(1-x)=f(1+x) 可知，抛物线对称轴为 x= 1 ，
而抛物线在 x 轴上截得的线段长为 4 ，因此抛物线与 x 轴的交点为（-1，0）、（3，0），
设 f(x)=a(x+1)(x-3) ，则 f(0)=3 得 3=a*1*(-3) ，所以 a= -1 ，
因此 f(x)= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。
2、g(x)=f(x)-2(1-m)x= -x^2+mx+3 ，对称轴 x= m/2 ，
由于 g(x) 在 [-2，2] 上是单调函数，
因此 m/2<= -2 或 m/2>=2 ，
解得 m<= -4 或 m>=4 。
当 m<= -4 时，g(x) 在 [0，2] 上为减函数，最大值为 g(0)= 3 ，
当 m>=4 时，g(x) 在 [0，2] 上为增函数，最大值为 g(2)=2m-1 。

Answer 3

设f(x)=ax^2+bx+c
由f(1-x)=f(1+x)，令x=1,则f(0)=f(2)=3
由图像在x轴上截得的线段长为4，列1+x-(1-x)=4 得x=2 则f(-1)=f(3)=0
代入得f(x)=-x^2+2x+3

Answer 4

(1)由题意知函数关于x=1对称。
又因为图像在X轴上截得的线段长为4，可以确定两个交点的X值为 -1 3。
因此可设f(x)=a(x+1)(x-3), 由f(0)=3,求得a=-1, f(x)= - (x+1)(x-3).
(2)将f(x)带入g(x)中，整理的g(x)= -(x-m)^2+3+m^2, 可以看出其函数图像的对称轴为x=m.为了是函数在[-2,2]上单调，需满足m<=-2或m>=2
1>当m<=-2时，函数在所求区间内单调递减，因此最大值在x=0处取得，g(0)=f(0)=3
2>当m>=2时，函数在所求区间内单调递增，因此最大值在x=2处取得，g(2)=f(2)-2(1-m)=4m-1.