Question

已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4，求∠B的度数及AC的长

Answer 1

过A作AF//CD交BC于F，
又AD//BC，
所以平行四边形ADCF
所以AF=CD=2，FC=AD=2
所以AB=AF=BF=2，∠ACB=∠CAF=1/2∠AFB
所以∠B=∠AFB=60，∠ACB=30
∠BAC=90
AC=√3AB=2√3

Answer 2

解：解法一：分别作AF⊥BC，DG⊥BC，F、G是垂足，
∴∠AFB=∠DGC=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形．
∴AF=DG，
∵AB=DC，
∴Rt△AFB≌Rt△DGC．
∴BF=CG，
∵AD=2，BC=4，
∴BF=1，
在Rt△AFB中，
∵cosB=BFAB=12，
∴∠B=60°，
∵BF=1，
∴AF=3，
∵FC=3，
由勾股定理，
得AC=23，
∴∠B=60°，AC=23．

解法二：过A点作AE∥DC交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD=EC，AE=DC，
∵AB=DC=AD=2，BC=4，
∴AE=BE=EC=AB，
∴△BAC是直角三角形，△ABE是等边三角形，
∴∠BAC=90°，∠B=60°．
在Rt△ABC中，
AC=ABtan∠B=AB•tan60°=23，
∴∠B=60°，AC=23．

Answer 3

设BC的中点为O，连接OA则AB=OB=OC=AD=CD;
那么∠AOB=∠OAB=∠OAD=∠OAC+∠OCA
∠OAD=∠OAC+∠CAD
又因为 ∠OCA=∠CAD
所以 ∠OAC=∠OCA 即OA=OC=OB
△ABO是等边三角形，∠B=60°
又因为 ∠B+∠OAB+∠OCA+∠OAC=180°
即 2×(∠B+∠OCA)=180°
∠BAC=∠B+∠OCA=90°
△BAC是直角三角形
AC²=BC²-AB²=16-4=12
所以AC=2√3