Question

设a为实数，函数f(x)=x|x-a|,讨论f(x)函数的奇偶性；

2）求函数f(x)在[0,1]上的最大值。在线。谢谢。

Answer 1

1）当 a=0 时，f(x)=x*|x| ，显然函数为奇函数，
当 a ≠ 0 时，f(x)=x*|x-a| ，由于 f(a)=0 ，f(-a)=2a*|a| ，因此函数是非奇非偶函数。
2）f(x)=｛x^2-ax(x<a) ；ax-x^2(x>=a) ，
因此，当 a<0 时，f(x) 在 [0，1] 上为增函数，最大值为 f(1)=|a-1|=1-a ；
当 0<=a<=2√2-2（2√2-2 是方程 a^2/4=1-a 的根）时，f(x) 在 [0，a/2] 上增，在 [a/2，2√2-2] 上减，在 [2√2-2，1]上增，且 1-a<=a^2/4 ，因此最大值为 f(1)=1-a ；
当 2√2-2<a<2 时，函数最大值为 f(a/2)=a^2/4 ；
当 a>=2 时，函数最大值为 f(1)=a-1 ；

综上可得，函数在 [0，1] 上的最大值为

max=｛1-a(a<2√2-2) ；a^2/4(2√2-2<=a<2) ；a-1(a>=2) 。