Question

已知函数f(x)=lnx/x. (1) 求f(x)的图像在x=1/e处的切线方程

（2）设实数a＞0，讨论函数F（x）=f（x）/a在【a，2a】上单调性
（3）在（2）条件下，求F（x）在【a，2a】上的最小值

Answer 1

• （2）定义域为（0,+∞）F'(x)=(1-lnx)/ax^2,令F'(x)>0得0<x<e
  当0<a<e/2时，F（x）在（a,2a）单调递增，当e/2<a<e时，F(X)在(a,2a)先增后减，当a>e时，F(x)在（a,2a）单调递减

• （3）当0<a<e/2时，F（x）的最小值lna/a^2.当e/2<a<e时，F(X)的最小值ln2a/4a^2,当a>e时，F(x)的最小值ln2a/4a^2

Answer 2

(1)f'(x)=(1-lnx)/x^2
切线斜率k=f'(1/e)=2e^2
f(1/e)=-e，所以切线方程为y+e=2e^2*(x-1/e)
(2)f'(x)=0得x=e，
若0<a<=e/2，F'(x)>0,函数递增,最小值f(a)=lna/a；
若e/2<a<=e，最小值=min{f(a),f(2a)}；
若a>e，F'(X)<0,函数递减,最小值f(2a)=ln2a/2a

Answer 3

1。导函数为（1-lnx）/x2 所以切线斜率为2*（e的平方）切点为（1/e，-e） 所以切线方程为
y=2*（e的平方）*（x-1/e）-e