Question

抛物线问题:若过点M(0,4),且斜率为(-1)的直线l与抛物线C:y^2=2px(p>0)交于A、B两点，

（1）求c的顶点到l的距离
(2)若线段AB中点的横坐标为6，求c的焦点坐标

Answer 1

直线方程是y=-x+4

(1)C的顶点是（0，0）到L的距离是d=|4|/根号2=2根号2
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)

y=-x+4代入到y^2=2px.
(-x+4)^2=2px
x^2-8x-2px+16=0
x^2-(8+2p)x+16=0
x1+x2=8+2p=2*6=12
p=2
那么C的焦点坐标是(p/2,0),即是(1,0)

Answer 2

(1)
直线l点M(0,4),且斜率为(-1)
∴l:y=-x+4即x+y-4=0
抛物线C顶点为O(0,0)
根据点到直线距离公式O到l的距离
d=|-4|/√2=2√2
(2)
联立方程组{ y=-x+4
{y²=2px
消元：(-x+4)²=2px
整理：x²-(8+2p)x+16=0
p>0,Δ=(8+2p)²-64>0恒成立
设A(x1,y1),B(x2,y2)
根据韦达定理
∴x1+x2=8+2p
∵线段AB中点的横坐标为6
∴x1+x2=12
∴8+2p=12
∴p=2
∴C的焦点为(1,0)