Question

求极限问题：当x→∞时lim（sin√（x+1）-sin√x）的极限是多少

Answer 1

x应趋于+∞，-∞时无意义

使用拉个朗日中值定理

令f(x)=sin[(x^(1/2)],在[x,x+1]上使用拉格朗日中值定理，存在ξ属于（x,x+1），有

（sin√（x+1）-sin√x）=(1/2)[ξ^(-1/2)]cos[ξ^(1/2)]

x趋于正无穷，故ξ也趋于正无穷。

(1/2)[ξ^(-1/2)]是无穷小，cos[ξ^(1/2)]是有界函数。

故其是无穷小。

故原式极限为0.

Answer 2

x→+∞
lim sin√(x+1)-sin√x
利用和差化积公式：sina-sinb=2cos((a+b)/2)*sin((a-b)/2)
=lim 2*cos((√(x+1)+√x)/2)*sin((√(x+1)-√x)/2)
因为(√(x+1)-√x)/2趋于0，这个有理化就证出来了
故，sin((√(x+1)-√x)/2)趋于0
又有，2cos((√(x+1)+√x)/2)有界，这也是明显的
因此，
有界量乘以无穷小量为无穷小量
故，
lim sin√(x+1)-sin√x=0
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