Question

如图，ABCD是梯形，AD⊥DC,BC⊥DC……

如图，ABCD是梯形，AD⊥DC,BC⊥DC，以AB为直径的⊙O与DC相交于M、N两点。若AD=a,CD=b,CB=c。
求证：（1）方程ax²-bx+c=0一定有两个互不相等的实数根；
（2）DM、DN是方程x²-bx+ac=0的两根。

Answer 1

本题可两问一起证明，本人先求出第二问，再由第二问结论证明第一问。
证明：
设BC与圆交于点E，圆心为O，过点O作CD垂线，垂足F交CD于点F，则有∠AEB=90°，MF=NF，所以四边形ADCE是矩形，因此有AD=CE=a，注意AD//OF//BC ，O为AB中点，所以有DF=CF，所以DF-MF=CF-NF，DF+NF=CF+MF，即DM=CN，DN=CM，所以DM+DN=CN+DN=DC=b，由圆切割线定理，得CN·CM=CE·CB，把DM=CN，DN=CM，AD=CE=a，CB=c代入，得DM·DN=ac，
综上所述，有DM+DN=CN+DN=DC=b，DM·DN=ac，所以DM、DN是方程x²-bx+ac=0的两根。
利用这个可以证明方程ax²-bx+c=0有两个不相等的实数根，证法如下：
由于DM、DN是方程x²-bx+ac=0的两根，而必有DN>DM>0，所以方程x²-bx+ac=0有两个不相等的实数根，于是有△=b²-4ac>0。
对于方程ax²-bx+c=0，△=b²-4ac>0，所以方程ax²-bx+c=0一定有两个互不相等的实数根。

如果只有第一问，则可直接证明，证明如下：
同上面，CN·CM=CE·CB=ac，设MF=NF=d>0，则CN·CM=(0.5b-d)(0.5b+d)=b²/4-d²
所以有b²/4-d²=ac，所以△=b²-4ac=b²-4(b²/4-d²)=4d²>0，原题得证。