Question

在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠A.求证：BD=2CD

Answer 1

证明：作DO∥AB交AC于O．

则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠A=2∠CED，

∴O为△EDC的外心，

取F为△EDC的外接圆与AC的交点，

则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF． 

∴△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE． 

再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，

∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，

∴△ADO∽△ABE，

即得OD/AE=AD/AB=AD/AC=AF/AE．

故AF=OD=OC=CF，从而AO=2OC． 

由DO∥AB，得：BD=2CD．