若a1>0，an+1=1+an/(1+an)，求证数列{an}收敛，并求其极限
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a(n+1)=2-1/(1+an)<2
a(n+1)-an=1/(1+a(n-1))-1/(1+an)
=(an-a(n-1))/(1+a(n-1))(1+an)
故an是单调有界数列。故极限存在,设为a.
取极限得，a=1+a/(1+a),a=(1+根号5)/2
a(n+1)-an=1/(1+a(n-1))-1/(1+an)
=(an-a(n-1))/(1+a(n-1))(1+an)
故an是单调有界数列。故极限存在,设为a.
取极限得，a=1+a/(1+a),a=(1+根号5)/2
追问
单调是怎么证出来的？
追答
a(n+1)-an=
=(an-a(n-1))/(1+a(n-1))(1+an)
如果a2>a1,那么a(n+1)>an
如果a2<a1,那么a(n+1)<an
0<a(n+1)<2, an是单调有界数列
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