Question

对于任意实数x，代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)是否有最大或最小值？

对于任意实数x，代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)是否有最大或最小值？是多少？请说明理由。 （有理数范围内，注意一定过程中不要有开方，没学过 谢谢了！）

Answer 1

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+2.5-1.5)(x+2.5+1.5)(x+2.5+0.5)(x+2.5-0.5)=[(x+2.5)^2-2.25][(x+2.5)^2-0.25]=[(x+2.5)^2-1.25-1][(x+2.5)^2-1.25+1]=[(x+2.5)^2-1.25]^2-1，因此代数式的大小取决于|(x+2.5)^2-1.25|，即(x+2.5)^2越接近1.25，代数式越小。由于你没有学过无理数，在有理数范围内(x+2.5)^2-1.25不可能为0，因此该代数式没有最小值；显然也没有最大值（当x很大很大时，代数式很大）。
若考虑无理数，最小值为-1，没最大值。

Answer 2

(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+5)
=(x^2+5x+9/2)^2-1/4>=-1/4
所以当x^2+5x+9/2=0
即x=(-5+√7)/2 或x=(-5-√7)/2 时
(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)有最小值-1/4

当x趋向无穷，(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)无限增大，没有最大值

Answer 3

1.没有最大值，有理数范围内没有最小值。
最小值为x=-2.5加减1/2*根号5，为-1

嗯，不知道你数学学了多少，尽量用你知道的方法解决。
设y=x-2.5将原式化简为(y-1.5)(y-0.5)(y+0.5)(y+1.5)
=(y^2-1.5^2)(y^2-0.5^2)=(y^2-2.25)(y^2-0.25)=
设z=y^2-1.25,z>=0;则原式
=(z-1)(z+1)=z^2-1
因为z^2>=0，所以最小值为-1，此时z=0，y=正负根号1.25=1/2*正负根号5，x=-2.5加减1/2*根号5

Answer 4

解，
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)={(x+1)(x+4)}·{(x+2)(x+3)}={(x²+5x)+4}{(x²+5x)+6}=(x²+5x)²+10(x²+5x)+24
=(x²+5x+5)²-1
因为，+∞ ＞ (x²+5x+5)² ≥ 0（x为实数时）
所以，+∞ ＞ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ≥ -1
结论：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)只有最小值-1。

Answer 5

没有，最大值取最大数所以没有最大数。