Question

已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3，求f（x）的解析式。

Answer 1

（1）因为二次函数有最小值1，所以可设解析式y=m(x-n)^2+1

由

f(0)=mn^2+1=3

f(2)=m(2-n)^2=3

得

mn^2=2

m[n^2-(2-n)^2]=0

解得

m=2

n=1

所以y=2(x-1)^2+1，即y=2x^2-4x+3。

（2）因为f(x)在[2a，a+1]上不单调，

所以2a<1<a+1，所以0<a<1/2。

（3）原式即“对一切t>0和x∈R，都有m≤2[g(t)+f(x)]   （#），

亦即“对一切t>0，即使g(t)取最小值，同时对一切x∈R，即使f(x)取最小值，哪怕是同时取最小值，(#)式都要能成立”

所以m≤2[min{g(t)}+min{f(x)}]      t>0，且x∈R，

【这里min{g(t)}、min{f(x)}分别指g(t)和f(x)的最小值  】

由（1），当x=1时f(x)有最小值1；

又g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1)=(t+1)+1/(t+1)-1=[√(t+1)-3/√(t+1)]^2-1，

当t=2时【满足t>0】，√(t+1)=3/√(t+1)，g(t)有最小值5。

【亦可g(t)=(t^2+t+9)/(t+1)=t+9/(t+1)，

g '(t)=1-9(t+1)^2=(t^2+2t-8)/(t+1)^2，

当0<t<2时，g '(t)<0，g(t)是减函数，

当t>2时，g '(t)>0，g(t)是增函数，

所以当t=2时，g(t)有最小值g(2)=2+9/(2+1)=5。】

所以m≤2(5+1)=12。

Answer 2

f（0）=f（2）

对称轴x=(0+2)=1
所以顶点是(1,1)
f(x)=a(x-1)²+1
所以f(0)=a+1=3
a=2
f(x)=2x²-4x+3

追问

f(0)=a+1=3
这一步不是很明白

追答

f(x)=a(x-1)²+1

x=0，f(x)=3

Answer 3

解:∵f(x)为二次函数
f(0)=f(2)=3
∴对称轴为x=(0+2)/2=1
∵二次函数f(x)的最小值为1
∴设f(x)=a(x-1)²+1,a＞0
∵f(0)=3
∴a+1=3,a=2
∴f(x)=2(x-1)²+1
=2x²-4x+3