Question

求一道高中数学的基本不等式题的详细答案

求该题的答案，我脑子比较笨，望详细点
最主要是运用基本不等式求解，知道答案，但是求解过程很蛋疼

Answer 1

解：∵a>b>0
　　∴a²＞ab＞0
　　∴a²-ab=a(a-b)＞0，且ab＞0
　　a²+1/ab+1/(a²-ab)
　　=[(a²-ab)+1/(a²-ab)]+[(ab)+1/(ab)] ①
　　当a²-ab=1，ab=1时
　　①取最小值，为4
　　∴当a=√2,b=1/√2时
　　a²+(1/ab)+[1/(a²-ab)]最小，为4.

追问

看了半天，稍微弄懂了点。问下，

当a²-ab=1，ab=1
①取最小值，为4

这一步是怎么得来的？我很笨，不太懂，只知道和基本不等式有关

追答

{当a>0时
(√a-1/√a)²=a-2+1/a≥0
∴a+1/a≥2（当a=1时，取最小值）}

令 a²-ab=t
t+1/t ≥2（证明同上）
当 t=1时，取最小值.
∴a²-ab=1时，(a²-ab)+1/(a²-ab)取最小值

同理ab=1时，ab+1/(ab)取最小值

Answer 2

a^2=ab+a(a-b)
∴a^2+1/ab+1/a(a-b)=(ab+1/ab)+[a(a-b)+1/a(a-b)]
≥2+2=4
当且仅当ab=1，a(a-b)=1时，即a=√2，b=√2/2时成立

Answer 3

请参考：