Question

已知函数f(x)=－a^(2x)-2a^x+1(a>0,a≠1)

(1)求函数f(x)的值域；
(2)若x∈[-2,1],函数f(x)的最小值为-7,求a的值.

Answer 1

令t=a^x>0, 则f(x)=-t^2-2t+1=2-(t+1)^2
1) 因为t>0，因此2-(t+1)^2关于t单调减，所以t趋于0时，f(x)最大为1
故值域为(-∞,1)

2)由2-(t+1)^2=-7, 得：t=2
x∈[-2,1],
若a>1, 则t∈[1/a^2,a], 在此区间最小值为t=a时取得，故a=2
若0<a<1, 则t∈[a,1/a^2], 在此区间最小值为t=1/a^2时取得，故a=1/a^2=2,得：a=√2/2
综合得: a=2或√2/2

Answer 2

（1）已知函数f(x)=－a^(2x)-2a^x+1(a>0,a≠1)
=-(a^x+1)^2+2 a^x>0
所以 函数f(x)的值域为 （1，+无穷）
（2）
（i）
a>1 x=1 函数f(x)的最小值为-a^2-2a+1
-a^2-2a+1=-7
a^2+2a-8=0 a=2或a=-4(舍)
所以a=2
（ii）
0<a<1
x=-2 函数f(x)的最小值为-(a^(-2)+1)^2+2=-7
(a^(-2)+1)^2=9
a^(-2)+1=3或a^(-2)+1=-3（舍）
所以a=√2/2
综上由（i）（ii）可知
a=2或a=√2/2

Answer 3

（1）把a^x看成一整体，记为z，z显然大于0
就是一个二次函数-z^2-2z+1 当z大于0时 画出抛物线解得值域是负无穷大到1（取不到1）
（2）最小值为-7 则可由-z^2-2z+1 =-7 得 z=2或-4（Z大于0，固舍去） 即z=2 就是那么z的范围要在0到2之间 就是说在x在[-2,1],有0<a^x<=2，这里有两种情况 当a^1=2那么a=2 是个增函数，符合要求 当a^-2=2时a=根号（1/2） 是个减函数 也是符合要求的
故a=2或根号（1/2）