证明如果两个可导函数f(x)和g(x),满足f(x)=0,g(0)=0,且f'(0)及g'(0)存在,g'(0)不等于0.那么lim x趋近于0
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根据柯西中值定理
f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ),ξ在0和x之间
所以当x->0时ξ->0
所以limf(x)/g(x)=lim(ξ->0)f'(ξ)/g'(ξ)=f'(0)/g'(0)
f(x)/g(x)=[f(x)-f(0)]/[g(x)-g(0)]=f'(ξ)/g'(ξ),ξ在0和x之间
所以当x->0时ξ->0
所以limf(x)/g(x)=lim(ξ->0)f'(ξ)/g'(ξ)=f'(0)/g'(0)
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