Question

fx是R上的任意函数,则下列叙述正确的是

请说明理由。

还有一个问题 f（x）和f（-x）是在同一个对应关系下进行操作的，为什么奇偶性会不同？

Answer 1

答案为：D。
用奇偶性的定义：
对A选项，设H（x）=f（x）f（-x），则H（-x）=f（-x）f（x）；
有H（x）=H（-x），那么H（x）为偶函数
用同样的方法判断B。设
H（x）=f（x）绝对值f（-x），H（-x）=f（-x）绝对值f（x）；
此时他们的关系不能确定。
C判断是奇函数
D判断是偶函数。因此D对。

对于问题： 还有一个问题 f（x）和f（-x）是在同一个对应关系下进行操作的，为什么奇偶性会不同？
如果（1）f（x）是奇函数，f（-x）也会是奇函数（2）f（x）是偶函数，f（-x）也会是偶函数。
该题中是进行了加减乘的运算，所以改变了。

Answer 2

A: f(x)f(-x)=f(-x)f(x), 因此为偶函数。A错
B：g(x)=f(x)|f(-x)|
g(-x)=|f(x)|f(-x)
g(-x)不一定等于-g(x)， 所以B 错
C: g(x)=f(x)-f(-x)
g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)
g(x)为奇函数，C错
D：f(x)+f(-x)=f(-x)+f(x), 为偶函数。D正确
选D

Answer 3

D.
令F(x)=f(x)+f(-x)，则F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(x)+f(-x)=F(x)
即F(-x)=F(x),所以f(x)+f(-x)为偶函数
同理，其它几个可以证明是错的