Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1/2,Sn=n^2*an. 计算a2,a3,a4，猜想通项公式an,用数归法证明。

Answer 1

解：
a2=1/3
a3=1/6
a4=1/10
an=1/(1+2+3+...+n)=2/n(n+1)
归纳法证明：
设n<=i 时，an=2/n(n+1),那么n=i+1时
S(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
∴a1+a2+...+a(i+1)=(i+1)^2*a(i+1)
∴a1+a2+...+ai=(i+1)^2*a(i+1)-a(i+1)
∴a(i+1)[(i+1)^2-1]=a1+a2+...+ai
=Si
=i^2*ai
=2i^2/[i(i+1)]
=2i/(i+1)
∴a(i+1)=[2i/(i+1)]/[(i+1)^2-1]=[2i/(i+1)]/[i(i+2)]
=2/(i+1)(i+2)
∴n=i+1时，an=2/(i+1)(i+2)=2/n(n+1)成立
∴结论成立

以后遇到类似的题目如果没有找到规律也没有要求数学归纳的话可以直接解，不用数学归纳
Sn=n^2*an
S(n-1)=(n-1)^2*a(n-1)
下式减去上式
an=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
即（n^2-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)(n-1)an=(n-1)(n-1)a(n-1)
即(n+1)an=(n-1)a(n-1)
还构不成递推数列，但是两边可以同乘n
n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
这样就是一个递推数列了
∴n(n+1)an=(n-1)n*a(n-1)
=......
=1*2*a1
=2
∴an=2/n(n+1)
有什么不懂请追问，我会为您详细解答，望采纳，谢谢！