Question

设F1和F2为双曲线x^2/25-y^2/15=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积

Answer 1

由给定的双曲线方程x^2/25－y^2/15＝1，得：c^2＝a^2＋b^2＝25＋15＝40。
∴｜F1F2｜＝2c，∴｜F1F2｜^2＝4c^2＝160。

∵∠F1PF2＝90°，∴由勾股定理，有：｜PF1｜^2＋｜PF2｜^2＝｜F1F2｜^2＝160，
∴（｜PF1｜－｜PF2｜）^2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝160。

由双曲线定义，有：｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝10，∴（｜PF1｜－｜PF2｜）^2＝100，
∴100＋2｜PF1｜｜PF2｜＝160，∴25＋（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝40，
∴（1/2）｜PF1｜｜PF2｜＝15。
∵∠F1PF2＝90°，∴S(△F1PF2)＝（1/2）｜PF1｜×｜PF2｜＝15。