Question

已知集合A={t|t²-(a²+a+1)t+a(a²+1)>0},B={y|y=1/2x²-x+5/2,0≤x≤3},

若A∩B=∅，求实数a的取值范围

请写出答案与解题思路，谢谢！！

Answer 1

对A：t>a²+1或t<a
对B：y=1/2(x²-2x）+5/2=1/2(x-1)²+2
该函数的图像是抛物线开口向上，顶点是（1， 2），1∈[0，3]
∴y在x=1时取到最小值2，又f(1)=2.5,f(3)=4
∴y∈[2,4]
∵A∩B=Φ
∴a²+1>4,a<2
∴a>√3或a<-√3,a<2
∴a<-√3或√3<a<2

Answer 2

t²-(a²+a+1)t+a(a²+1)>0},可以因式分解为(t-a)(t-(a^2+1))>0
y|y=1/2x²-x+5/2,0≤x≤3 即可求出值域 [2,4]
∵a^2+1＞a, 1°a>0,t>a^2+1 ∴a^2+1≥4
2°a=0，A∩B≠∅
3°a＜0，t<a或t>a^+1 a^2+1≥4 ,a≤2
综上所述a∈（-∞，0）∪[√3,+∞)