Question

已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)(y) (x.y∈R)且f(0)≠0不等于零，证f(x)是偶函数。

Answer 1

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
定y=-x
f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)..........................1
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
令x=y，代入
f(2x)+f(0)=2f(x)f(x).......................2

两式相减，得到
f(x)[f(-x)-f(x)]=0
所以f(x)=0或者f(-x)-f(x)=0

当f(x)=0时，它的图像就是x轴，当然关于y轴对称，所以是偶函数

当f(-x)-f(x)=0时，很显然满足偶函数的定义

Answer 2

求这种题目，就是特殊值代入法。一般都是x=y，x＝-y,x=0,y=0等这几种情况。具体求法。令x=y=0,则2f(0)=2f(0)^2,f(0)不等0，所以f(0)=1,令x=0,原式变为f(y)+f(-y)=2f(y)*f(0),所以f(y)=f(-y),偶函数得证