四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=根号2,AB=AC
四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=根号2,AB=AC,证明:AD⊥CE过程要详细...
四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC⊥底面BCDE,BC=2,CD=根号2,AB=AC,证明:AD⊥CE
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取BC的中点为M,令CE∩DM=N。
∵AB=AC、M∈BC且BM=CM,∴AM⊥BC,而平面ABC⊥平面BCDE,∴AM⊥平面BCDE,
∴CE⊥AM。
∵BCDE是矩形,∴∠CBE=∠ACM=90°、BE=CD=√2。
∵BC=2、M∈BC且BM=CM,∴CM=BC/2=1。
∴BE/CM=√2、BC/CD=2/√2=√2,∴BE/CM=BC/CD,又∠CBE=∠ACM,
∴△CBE∽△DCM,∴∠NCM=∠CAM,而∠CME=∠DMC,∴△CMN∽△DCM,
∴∠CNM=∠DCM=90°,∴CE⊥DM。
∵CE⊥AM、CE⊥DM、AM∩DM=M,∴CM⊥平面ADM,∴AD⊥CE。
∵AB=AC、M∈BC且BM=CM,∴AM⊥BC,而平面ABC⊥平面BCDE,∴AM⊥平面BCDE,
∴CE⊥AM。
∵BCDE是矩形,∴∠CBE=∠ACM=90°、BE=CD=√2。
∵BC=2、M∈BC且BM=CM,∴CM=BC/2=1。
∴BE/CM=√2、BC/CD=2/√2=√2,∴BE/CM=BC/CD,又∠CBE=∠ACM,
∴△CBE∽△DCM,∴∠NCM=∠CAM,而∠CME=∠DMC,∴△CMN∽△DCM,
∴∠CNM=∠DCM=90°,∴CE⊥DM。
∵CE⊥AM、CE⊥DM、AM∩DM=M,∴CM⊥平面ADM,∴AD⊥CE。
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