Question

已知直线l:y=3x+3 求 (1）点P（4，5)关于A（0,3）的对称点坐标

（2）P（4，5)关于直线l的对称点坐标
（3）直线l关于A(3，2)对称的直线方程
（4）直线y=x-2关于l对称的直线方程

Answer 1

解：（1）此对称点坐标为(2*0-4,2*3-5)，即(-4,1)。
（2）设所求点为B(x0,y0)，则有
(y0-5)/(x0-4)=-1/3和3x0-y0+3=-(3*4-5+3)，
解得x0=-2，y0=7。故所求点为B(-2,7)。
（3）设此对称直线上任意一点坐标为C(x1,y1)，则此点关于点A对称的点C'为(2*3-x1,2*2-y1)，即(6-x1,4-y1)，又因为C'在直线l上，有4-y1=3*(6-x1)+3，即3x1-y1-17=0。故此对称直线方程为3x-y-17=0。
（4）设所求直线斜率为k，则由到角公式知：(k-3)/(1+3k)=(3-1)(1+3*1)，解得k=-7，又联立y=x-2与l解得其交点为(-5/2,-9/2)，又所求直线过此交点得所求直线的点斜式为y-(-9/2)=-7[x-(-5/2)]，即7x+y+22=0。

Answer 2

设点P的对称点为Q（a，b），
则PQ的斜率＝（b－5）/（a－
4）。
由直线 l 的方程可知：l 的斜率
＝3。
由对称图形性质，有：
PQ⊥l，∴（b－5）/（a－4）
＝－1/3，∴3b－15＝4－a，
∴a＝19－3b。
由中点坐标公式，PQ中点的坐
标是（（a＋4）/2，（b＋
5）/2）。
显然，PQ的中点在直线 l 上，
∴（b＋5）/2＝3（a＋4）/2
＋3，∴b＋5＝3a＋12＋6，
∴b＝3a＋13。
联立：a＝19－3b、b＝3a＋
13，消去b，得：a＝19－
3（3a＋13）＝－9a－10，∴a
＝－1。
∴b＝－3＋13＝10。
∴点P关于直线 l 的对称点的坐
标是（－1，10）。
第二个问题：
联立：y＝3x＋3、y＝x－2，
容易得到：x＝－5/2、y＝－
9/2。
∴直线y＝x－2与对称轴的交
点为（－5/2，－9/2）。
过对称轴上的一点（0，3）作
对称轴的垂线，则该垂线的方
程为：y－3＝－（1/3）x。
联立：y＝x－2、y－3＝－
（1/3）x，容易得到：x＝
15/2、y＝11/2。
∴直线y＝x－2与直线y－3＝
－（1/3）x的交点为（15/2，
11/2）。
令所要求的直线与直线y－3＝
－（1/3）x的交点为（c，
d）。
则点（0，3）就是点（15/2，
11/2）和点（c，d）的中点，
由中点坐标公式，有：
（15/2＋c）/2＝0、（11/2＋
d）/2＝3，∴c＝－15/2、d＝
6－11/2＝1/2。
∴点（－15/2，1/2）在所要
求的直线上。
显然，点（15/2，11/2）也在
所要求的直线上。
∴所要求的直线的方程为：
（y－1/2）/（x＋15/2）＝
（11/2－1/2）/（15/2＋
15/2），
∴（2y－1）/（2x＋15）＝
10/30＝1/3，∴6y－3＝2x＋
15，∴2x－6y＋18＝0。
即直线y＝x－2关于 l 对称的
直线方程是：2x－6y＋18＝
0。
第三个问题：
设直线 l 上的两点（0，3）、
（－1，0）关于点（3，2）的
对称点分别是（e，f）、（g、
h）。
∴（0＋e）/2＝3、（3＋
f）/2＝2、（－1＋g）/2＝
3、（0＋h）/2＝2，
∴e＝6、f＝1、g＝7、h＝4。
∴所要求的直线过点（6，
1）、（7，4）。
∴所要求的直线的方程为：
（y－1）/（x－6）＝（4－
1）/（7－6）＝3，
∴3y－3＝x－6，∴x－3y－3
＝0。
即直线 l 关于点（3，2）对称
的直线方程是：x－3y－3＝
0