1、数列收敛与存在极限的关系：
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
2、数列收敛与有界性的关系：
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！
例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。数列收敛<=>数列存在唯一极限。
设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
扩展资料
收敛数列性质：
1、唯一性
如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性
定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。
定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；
数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。
设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。数列收敛<=>数列存在唯一极限。
设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|<M成立，则称数列Xn有界。如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
扩展资料：
收敛数列与其子数列间的关系：
1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
3、如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
例如：Xn=1,-1,1,-1,.....
|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛
对于收敛的数列，他的极限小于等于界；这里的界有很多的，可以很大的，界不是唯一的，一般讨论最大（最小）的界比较有意义。
收敛必有界 但有界不一定收敛
