Question

高等数学求极限。详细过程及解释，谢谢！

Answer 1

因式分解，x^m-1=(x-1)[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]，x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1]，所以原极限=lim(x→1) [x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1] / [x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]=m/n

追问

那个因式分解怎么分出来的啊？还有，最后一步不太懂欸，求解

追答

平方差、立方差推广一下就有了，最后一步就是极限运算法则用一下，分子分母都求极限

Answer 2

分子分母趋于0
用洛贝塔法则，分子分母同时求导数：
原式=lim(x^m-1)'/(x^n-1)'
=lim(mx^(m-1))/(nx^(n-1) x.......1
=m*1/n=m/n

Answer 3

用洛必达法者，分子分母同时求导
=[m*x^(m-1)]/[n*x^(n-1)],x->1
=m/n

Answer 4

lim(x→1)(x^m-1)/(x^n-1)
=lim(x→1)(x^m-1)'/(x^n-1)'
=lim(x→1)mx^(m-1)/nx^(n-1)
=m/n