Question

设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13

求数列{an*bn}的前n项和Sn
注意是{an×bn}
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Answer 1

解；
{an}是等差数列，a3=a1+2d=1+2d，a5=a1+4d=1+4d
{bn}是等比数列b5=b1*q＾4=q＾4，b3=b1*q＾2=q＾2
a3+b5=1+2d+q＾4=21
2d+q＾4=20
d=10-q＾4/2 （1）
a5+b3=1+4d+q＾2=13
4d+q＾2=12 （2）
（1）代入（2）得
40-2q＾4+q＾2=12
2q＾4-q＾2-28=0
（2q＾2+7）（q＾2-4）=0
2q＾2+7=0舍去
q＾2-4=0解得q=2，q=-2舍去（{bn}是各项都为正数，q为正）
把q=2代入（2）解得d=2
所以an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1
bn=b1*q＾（n-1）=2＾（n-1）
an*bn=（2n-1）*2＾（n-1）
则Sn=1*1+3*2+5*4+7*8+...+（2n-1）*2＾（n-1） （1）
2Sn=1*2+3*4+5*8+7*16+...+（2n-3）*2＾（n-1）+（2n-1）*2＾n （2）
（1）-（2）得
-Sn=1+2*2+2*4+2*8+2*16+...+2*2＾（n-1）-（2n-1）*2＾n
=2[1+2+4+8+16+...+2＾（n-1）]-1-（2n-1）*2＾n
=2*（2＾n--1）-1-（2n-1）*2＾n
=2*2＾n-2-1-2n2＾n +2＾n
=3*2＾n-3-n2＾（n+1）
Sn=n2＾（n+1）-3*2＾n+3

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追问

2Sn=1*2+3*4+5*8+7*16+...+（2n-3）*2＾（n-1）+（2n-1）*2＾n （2），为什么Sn要乘2？

追答

这是解此类问题的方法呀，要不你怎么求

乘2再错位相减，可得规律