Question

已知集合A={xlx²-2x-3≤0，x∈R}，B={xlx²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}

①若A∩B=【0,3】，求实数m的值;

Answer 1

∵x²-2x-3≤0
∴-1≤x≤3
集合A={xlx²-2x-3≤0，x∈R}={xl-1≤x≤3}
∵x²-2mx+m²-4≤0
∴m-2≤x≤m+2
集合B={xlx²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}={xlm-2≤x≤m+2}
若A∩B=【0,3】，则有
m-2=0，m+2≥3
解得m=2
实数m的值是2

追问

{xlx²-2mx+m²-4≤0，x∈R，m∈R}={xlm-2≤x≤m+2}这个怎么解的？

追答

分解因式：m²-4=（m-2）（m+2），（m-2）+（m+2）=2m
所以x²-2mx+m²-4=[x-(m-2)]*[x-(m+2)]
因为m-2<m+2
所以x²-2mx+m²-4=[x-(m-2)]*[x-(m+2)]=≤0的解为
m-2≤x≤m+2

Answer 2

A=｛xl-1≤x≤3｝
∵（-2m）^2-4*1*(m^2-4)＞0
∴方程x²-2mx+m²-4=0有两个实根
∵若A∩B=【0,3】

∴方程x²-2mx+m²-4=0较小的一个根为0
x=0带入方程得m=2或m=-2
m=2时不等式x²-2mx+m²-4≤0的解集为0≤x≤4符合题意
m=-2时不等式x²-2mx+m²-4≤0的解集为-4≤x≤0不符合题意舍去
∴m=2