Question

求证根号ab＜(a+b)/2＜根号[（a^2+b^2)/2]

Answer 1

(a-b)^2>0
a^2+b^2>2ab
a+b>2√ab
√ab<(a+b)/2
2（a^2+b^2)>a^2+b^2+2ab
(a+b)/2＜根号[（a^2+b^2)/2]
故根号ab＜(a+b)/2＜根号[（a^2+b^2)/2]

追问

（a^2+b^2)>a^2+b^2+2ab
(a+b)/2＜根号[（a^2+b^2)/2]
？？？？

追答

2（a^2+b^2)>a^2+b^2+2ab=(a+b)^2

(a+b)^2/4<（a^2+b^2) /2
两边开平方得
（a+b)/2＜根号[（a^2+b^2)/2]

Answer 2

(a+b)/2-根号ab=(根号a-根号b)^2/2>=0
根号[（a^2+b^2)/2]-(a+b)/2=[(a-b)^2/4]/{根号[（a^2+b^2)/2]+(a+b)/2}>=0