Question

高二数学 选修2-1 双曲线

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a＞0，b＞0）的右焦点F作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B。

（1）求证：P在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围。
（3）若绝对值AP=3绝对值PB，求离心率

Answer 1

（1）双曲线右焦占点坐标(c,0)，其c^2=a^2+b^2；第一象限渐近线：y=bx/a，其与x轴正向夹角余弦＝a/√(a^2+b^2)，右准线方程为x=a^2/c；
右焦点与渐近线垂足横坐标x=c*cosθ*cosθ=c*a^2/(a^2+b^2)=a^2/c ，因此P点在渐近线上；
（2）对于双曲线，离心率e=c/a>1
（3）若|AP|＝3|PB|，则(Xp-Xa)=3(Xb-Xp)，3Xb+Xa=4Xp=4a^2/c；
过右焦点的垂线y=-a(x-c)/b与双曲线交点A、B坐标满足双曲线方程：(x^2/a^2)-[a(x-c)/b]^2/b^2=1；
整理：(b^4-a^4)x^2+2c*a^4*x-(a^4*c^2+a^2*b^4)=0；
该方程的两根分别是Xa、Xb，故有：Xa+Xb=-2ca^4/(b^4-a^4)；
所以 3Xb+Xa=2Xb+(Xa+Xb)=2Xb-2ca^4/(b^4-a^4)=4a^2/c；
于是：Xb=2a^2/c+ca^4/(b^4-a^4)=2a^2/c+a^4/[c(b^2-a^2)]=[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)]；
曲线上点B到定点（右焦点）与到定直线（右准线）的距离之比e=c/a>1；
e=[(c-Xb)/cos(arctan(-a/b))]/(Xb-Xp)
={{c-[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)]}/(-b/c)}/{[2(ab)^2-a^4]/[c(b^2-a^2)]-a^2/c]}
={{(b^4-2a^2*b^2)/[c*(b^2-a^2)]}*(-c/b)}/{[(ab)^2-2a^4]/[c*(b^2-a^2)]}
=[(2a^2*b^2-b^4)*(c/b)]/(a^2b^2-2a^4)
=[b^2*(c/b)]/(a^2)
=(b/a)^2*e(a/b)；
从而(b/a)=1；
故 e=c/a=√((a^2+b^2)/a=√(2a^2)/a=√2；