Question

高数证明

已知f（x）在区间［a，b］上连续，a＜c＜d＜b，证明在（a，b）内至少有一A点，使pf（c）+qf（d）=（p+q）f（A），其中p，q为任意正数

Answer 1

若f（c）=f（d）
取A=c OK
不妨设f（c）>f（d）
则f（x）在区间［c，d］上连续
两边除以（p+q），知f（c）>=f（A）>=f（d）

又连续函数能在闭区间上取得最大和最小值及其中任意值
则A存在

Answer 2

f（x）在区间［a，b］上连续，m≤f（x）≤M

p／p+q·m≤f（c）·p／p+q≤p／p+q·M

q／p+q·m≤f（d）·q／p+q≤q／p+q·M

m≤f（c）·p／p+q＋f（d）·q／p+q≤M

所以（a，b）内必存在f（A）＝f（c）·p／p+q＋f（d）·q／p+q