Question

如图,二次函数y=-x²+ax+b的图像与x轴交与A(-1/2,0)、B(2,0)两点,且与y轴交与点C；

在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？如存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由

Answer 1

解：这里画不了图，只好表述一下过程。
由题意知，该抛物线开口是向下的，
故C点在y轴的正半轴上。
由A、C、B、P四点要构成直角梯形，
那么显然ABC三点为定点，而P为动点。
按照数学思维中“先易后难，一步一步来”的原则，显然应该先考察三个定点A、B、C。
若以AB为底边，在图像上看，显然只能构成1个等腰梯形，不合题目要求，予以排除。
若以AC为底边，过B点作AC的平行线，显然，只要满足（1）角C为直角，（2）这条平行线与抛物线在第三象限有交点，则这个交点就是P点。如果你对抛物线的变化趋势有清晰的认识，直接就可判断这个P点必然是存在的。
若以BC为底边，其情况如上一种完全类似，也必然存在着另一个P点满足直角梯形的要求。
解答过程就很简单了，
在Rt△ABC中，CO为AB边上的高，
∴|CO|^2=|AO|*|BO|=1/2*2=1
∴C点的坐标为（0,1）
接下来已知三点求出抛物线的方程；
再分别求出两条平行线的方程；
再分别联立成方程组，求出交点坐标。
这些都不难，由你自己完成吧。
最后的答案是：抛物线方程y=y=-x²+(3/2)x+1
P点坐标为（-5/2,-9），（5/2,-3/2）。

Answer 2

把AB两点代入，求出a=3/4,b=5/2,求得抛物线与Y轴的交点为（0，5/2），很简单就可以求出其中一个P点（3/4,5/2)。此外为求谨慎，必须分类讨论，须分别以AC，BC为底来讨论是否还有其他交点，其中就是应用直线与抛物线有几个交点和点到直线距离公式来求。画图目测是没有其他交点的，不过我懒得求了，你自己画图算算看吧。只能帮你倒这了。。。。