Question

已知点P（0,5）及圆C：x^2+y^2+4x-12y+24=0,求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程。求解啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

Answer 1

圆C：x^2+y^2+4x-12y+24=0
即圆C：(x+2)^2+(y-6)^2=4^2
因(0+2)^2+(5-6)^2=5<4^2
则P在圆C内

设过P点的弦L：y=kx+5，弦两端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)
将弦方程代入圆方程消去y得关于x的二次方程（k为参数）
用韦达定理得x1+x2=f(k)
又y1=kx1+5、y2=kx2+5，相加得y1+y2=k(x1+x2)+10=kf(k)+10
设弦中点坐标为(m,n)
则m=(x1+x2)/2=f(k)/2
n=(y1+y2)/2=kf(k)/2+5
联立消去k即得关于m、n的方程，此即所求轨迹方程
这里要注意检验：过P但斜率不存在的弦x=0，单独求出中点，并代入所求轨迹方程观察是否成立（应该是成立的）