Question

已知函数f(x)是定义在（-3.3）上的奇函数，当0<x<3 f(x)=x^2-2x-3求此函数的值域

Answer 1

判断奇偶函数时要从定义出发，
在对称区间内对于任意的x，有f(x)=f(-x)，即为偶函数，
若是f(x)=-f(-x)，即为奇函数

这道题的关键是先把f(x)在(0,3)上的值域算出来，然后用奇函数的性质，图像关于原点对称，就可以求出(-3,0)上的值域
在(0,3)上，f(x)=x²-2x-3=(x-1)²-4可知对称轴是x=1（函数最低点）,在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增，所以函数f(1)=-4最小，无最大值（因为f(3)没有定义），最大值无限接近于0
于是在(-3,0)上函数f(x)的最大值为4，无最小值(最小值无限接近于0)
而在x=0点，因为f(x)是奇函数，所以由定义可知f(0)=-f(-0)，所以f(0)=0
综上，可知函数f(x)在(-3,3)上的值域为[-4,4].

Answer 2

解：当x<=0时 有-x>=0
从而 f(-x)=(-x)^2-2*(-x)-3=x^2+2x-3
∵f(x)是定义在（-3.3）上的奇函数
∴f(-x)=-f(x)=x^2+2x-3
则 f(x)=-x^2-2x+3
∴当0<x<3时 f(x)=-(x^2+2x+1)+4=-(x+1)^2+4
∵对称轴是x=-1 |-3-(-1)|=2 |0+1|=1
-3离对称轴最远，所以
当x=-1时有最大值4，当x=-3时有最小值0
∵x=0时，函数f(x)是定义在（-3.3）上的奇函数
∴f(0)=0
当0＜x＜3时，f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4∈[-4,0)
所以f(x)值域是[-4，4].

Answer 3

-3＜x＜0时，0＜-x＜3，则：f(-x)=(-x)^2-2(-x)-3=x^2+2x-3
∴f(x)=-f(-x)=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4∈(0,4]
x=0时，函数f(x)是定义在（-3.3）上的奇函数
∴f(0)=0
0＜x＜3时，f(x)=x^2-2x-3=(x-1)^2-4∈[-4,0)
综上所述，f(x)∈[-4,4]