Question

已知-x^2+4x+a≥0,在x属于【0,1】上恒成立,则实数a的取值范围是

我们老师说的是转化成 f（x）=-x^2+4x+a,x属于【0,1】，求 f min（x）。。。为啥啊、、、 要非常详细详细的 过程

Answer 1

f（x）=-x^2+4x+a，那么f（x）≥0要成立，即f min（x）≥0要成立，f（x）最小值都大于0了，其他值一定会大于0，而f（x）在x属于【0,1】是单调递增，x=0时取最小值，即f min（x）=a，
则当a≥0时，成立。
或者是直接求解：-x^2+4x+a≥0,即a+4≥x^2-4x+4=（x-2）^2≥0,首先a+4≥0，其次（x-2）^2在x属于【0,1】上单调递减，最大值是4，a+4要大于（x-2）^2的最大值时不等式才成立，即a+4≥4，a≥0。

Answer 2

转化成 f（x）=-x^2+4x+a,x属于【0,1】，求 f min（x)
因为在【0,1】内，只要f min（x)>=0,则原式就成立
f(x)在（-无穷，2）增（2，+无穷）减
所以在【0,1】内f min（x)=f(0)=a>=0
所以a的取值范围是a>=0