Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点。

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC
（1）求证：AG∥平面PEC
（2）求AE的长
（3）求二面角E-PC-A的正弦值

Answer 1

1 过E做EF垂直PC于F 因为平面PEC⊥平面PDC
所以EF垂直于平面PCD 故平行于AG 进而AG∥平面PEC
2 AGFE为矩形 解三角形PAD 得PG=1.8 在三角PDC 中由相似三角形得GE=AE=1.44
3 P-AEC的体积为 1/3X三角形PAC面积XEH=1/3X三角形AEC面积XPA 其中EH为E到哦ing面PAC的高 于是可得H=25分之18倍根号二 解三角形EHF 得 正弦值为 10分之3倍根号二
用坐标法更好
设AB＝4a﹙a是单位向量﹚，AD＝4b. AP＝3c AE＝ta
容易计算，平面PEC的法向量n1＝-12a+﹙12-3t﹚b-4tc
平面PDC的法向量n2＝3b+4c.
∵平面PEC⊥平面PDC
∴n1⊥n2.
n1•n2＝0,得到t＝36/25
AG⊥PD,AG⊥CD﹙∵CD⊥平面PAD﹚∴AG⊥平面PDC.AG＝sn2 AG⊥n1 AG∥平面PEC
﹙⑴成立﹚
⑵AE的长＝t＝36/25＝1.44
⑶ 平面PAC的法向量n3＝a-b
cos﹙二面角E-PC-A﹚＝|cos﹤n1,n3﹥|＝|n1•n3/﹙|n1||n3|﹚|＝……
后面的计算留给楼主啦！

追问

详细第二题
第三题不要用向量

追答

第二问
过E做EF垂直PC于F 因为平面PEC⊥平面PDC

连接FG
AG平行等于EF 所以AGFE为矩形
AE=FG
△PGF相似于△PDC
PG/GF=PD/CD
可以求出PG=1.8
1.8/GF=5/4
GF=1.44=AE

第三问用等体积法
P-AEC的体积为 1/3X三角形PAC面积XEH=1/3X三角形AEC面积XPA
其中EH为E到面PAC的高
于是可得H=25分之18倍根号二 解三角形EHF 得
正弦值为 10分之3倍根号二