Question

大学微积分 证明近似公式

证明近似公式(a^n+x)^(1/n)≈a+x/[na^(n-1)] 其中|x|<<a,并利用这个公式求下面的近似值
29^(1/3),1000^(1/10)

Answer 1

利用一阶导数的近似公式计算：f(x))≈f(x0)+f'(x0)(x-x0),不过这个计算的前提条件是x很接近于x0.对于上式而言，我们取x0=0,则f(x))≈f(0)+f'(0)x, f(0)=a,f'(0)=a/na^n=1/[na^(n-1)] ,显然代入即得要证明的公式 ，需要记住的条件就是|x|近于0时，更精确，务必要注意这一点

对于第一个求值，式子必须要转化为x近于0，29^(1/3)=3[1+(2/27)]^(1/3),这个式子中，x=2/27趋于零，a=1,1的任何次幂都是1，这样就满足近似的条件了，代入直接求出：3.074

第二个同样需要化简，注意到2^10=1024，所以原式=2[1-（24/1024)]^(1/10),同样，x=24/1024，a=1,满足x近于0的条件，代入=2（1-0.00234）=1.995

此题的难度在于如何求近似值，关键是要通过转化满足公式的使用条件，否则如果|x|较大，甚至大于1，则近似值可能存在较大误差

Answer 2

用无限接近的归纳法