Question

线性代数-矩阵证明题

设n阶方阵A满足:A的平方=E(n阶单位阵），｜A+E｜≠0，证明A=E

有一本练习册后的答案是这样的：
因为 A的平方=E
所以 A的平方-E=零矩阵 所以(A-E)(A+E)=零矩阵 又｜A+E｜≠0 所以A-E=0 即A=E

这里我就不明白了，如果AB=O，应该只能推出｜A｜=0或｜B｜=0啊，而不能推出A=零矩阵或B=零矩阵？

Answer 1

他省了一步。
｜A+E｜≠0，而A+E又是方阵，所以A+E是可逆阵。在(A-E)(A+E)=零矩阵的等号两边右乘(A+E)的逆矩阵，得A-E=0，即A=E。

Answer 2

若MN=0，且|N|≠0，则M=0

证：
因|N|≠0，故N有逆矩阵N^-1，
MN=0
MNN^-1 = 0*N^-1
M=0

Answer 3

以下令rank(A)为A的秩
因为rank(A-E)=rank(A-E)(A+E)=rank(0)=0
所以A-E=0
所以A=E