Question

已知函数f(x)=x^2+2ax+3,x∈[-4,4]

(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值
(2)求实数a的取值范围.使得y=f(x)在区间[-4,4]上是单调函数.

Answer 1

当a=-1时 f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2
最小值在x=1， f(1)=2
最大值在x=-4, f(-4)=27

f(x)=(x+a)^2+3-a^2要让f(x)在[-4,4]上单调需要让-a 不在这个区域里 所以
当a在(4,+∞)U(-∞,-4)时，该函数在[-4,4]上单调

Answer 2

(1)当a = -1时，f(x) = x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x +1) + 2 = (x-1)^2 + 2
∵(x-1)^2 ≥ 0
∴ 当x = 1时，f(x)取最小值，f(x)min = 2
∵|4-1| = 3 ＜ |-4-1| = 5
∴f(-4)为最大值，f(-4) = 27
讲解：这是一个一元二次函数，基本形状为：最低点为(1,0)，以x =1为对称轴的U型曲线
所以，曲线上点的横坐标离x=1越远，所得的f(x)值越大
而|4-1| 和 |-4-1| 就分别表示了两点与对称轴x=1横坐标的距离
(2)由题已知：f(x) = x^2 - 2ax + 3为一元二次函数
∴有两种情况：①f(x)在x∈[-4,4]内单调递增；②f(x)在x∈[-4,4]内单调递减
∵f(x) = x^2 - 2ax + 3 = (x^2 - 2ax + a^2) + 3 - a^2 = (x-a)^2 + 3 - a^2
∴f(x) = x^2 - 2ax + 3 的对称轴为x = a
①当f(x)在x∈[-4,4]内单调递增时：对称轴 x = a就要在x = -4的左边或与之重合，即：
a ≤ -4
②当f(x)在x∈[-4,4]内单调递减时：对称轴 x = a就要在x = 4的右边或与之重合，即：
a ≥ 4
综上所述：a ≤ -4或a ≥ 4即：a在 (-∞,-4]U[4,+∞)

希望你满意哦~~做函数题的时候，记得画图模拟，来理解题意。