Question

利用基本不等式求函数最值的疑惑

已知x＞0,y＞0，且8/x+1/y=1,求x+2y最小值
为什么不能设x=2y代入前面的式子做？？？

Answer 1

8/x+1/y=1
y=1/(1-8/x)=x/(x-8)=1+8/(x-8)
∵8/x+1/y=1,x＞0,y＞0
∴x＞8,y＞1
∴x+2y=x+2+16/(x-8)
=(x-8)+16/(x-8)+10
≥2√16+10=18
当且仅当x-8=16/(x-8),即x=12时取得等号，此时y=1+8/(x-8)=3
∴并不是x=2y时，x+2y取得最小值。

Answer 2

一般情况下求解a+b（a>0,b>0）的最小值时是当且仅当a=b时有最小值；但是对于这种有前提条件的情况，就不能简单地确定了。
对于本题：前提条件数是8/x+1/y=1，则x+2y=（x+2y）×1=（x+2y）×（8/x+1/y）=8+x/y+16y/x+2=10+(x/y+16y/x)≥10+2√(x/y+16y/x)=10+2×4=18 这个时候是当x/y=16y/x时才能取得最小值。

Answer 3

（x+2y）（8/x+1/y）=8+2+16y/x+x/y≧10+√16y/x×x/y=14