Question

设函数y=f(x)是定义在R上的减函数,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1/2)=1. 求f（0）及f（1）的值

求证函数y=f(x)是奇函数，
如果f(4x)+f(2-x)<2,求x的取值范围

Answer 1

解：
对于f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=y=0得，f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)，解得f(0)=0
令x=y=1/2得，f(1)=f(1/2)+f(1/2)=1+1=2

令y=-x，代入f(x+y)=f(x)+f(y),
得f(x-x)=f(x)+f(-x)
得f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x)，且定义域为R
所以f(x)是奇函数

f(4x)+f(2-x)＜2=f(1)
又f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(4x)+f(2-x)=f(8x-4x²)＜f(1)
因为f(x)是定义在R上的减函数
所以8x-4x²＞1
即 4x²-8x＜-1
4(x²-2x)＜-1
4(x-1)²＜3
(x-1)²＜3/4
所以-√3/2＜x-1＜√3/2
-√3/2+1＜x＜√3/2+1

答案： -√3/2+1＜x＜√3/2+1