Question

定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y属于R均有f(xy)=f(x)+f(y),且f(x)不恒为零，证明：

1.f(x)的奇偶性
2.若x大于等于0时为增函数，求满足不等式f(x+1)-f(2-x)小于等于0的x取值集合

Answer 1

1
f(xy)=f(x)+f(y)
取x=y=1
则f(1×1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
取x=y=-1
∴f(1)=f(-1)+f(-1)=0
∴f(-1)=0
∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
∴f(x)是偶函数
2
∵x>0时，f(x)为增函数，f(x)是偶函数
∴x<0时，f(x)为减函数
那么不等式
f(x+1)-f(2-x)<0
即 f(x+1)<f(2-x)
∴ |x+1|<|2-x|
（x+1)²<(2-x)²
x²+2x+1<4-2x+x²
∴x<3/4
∴不等式的解集为{x|x<3/4}

追问

方法是对的，但不等式解错了，x²+2x+1<4-2x+x²应为x²+2x+1<4-4x+x²
解集应为
{x|x<1/2}

追答

1. 不好意思，当时，睁不开眼了，你是对的