Question

求解最简单的偏微分方程

假设u(x,t)是关于x和t的函数a和c都是常数。求解下面方程的解析解：
(du/dt)+a*(du/dx)=c。
里面的d应该是偏导数那个符号，打不出来。
是应该有解析解的吧？

Answer 1

这是典型的热传导方程，可以用经典的分离变量法来求解：
令u(x,t)=f(x)g(t)，那么代入原方程得到：
fg`=f``g
不妨记f``/f=g`/g=-λ，得到两个微分方程：
f``+λf=0
g`+λg=0
并注意边界条件：
u(0,t)=f(0)g(t)=0，即f(0)=0
u`(1,t)=f`(1)g(t)=0，即f`(1)=0………………注意若g(t)等于0则有平凡解u=0，舍去；
将此两个条件代入f的方程就能解出一个f的特解：
特征方程r²+λ=0
当λ小于或等于0时，f的非零解（两个指数函数的和）无法满足边界条件；当λ大于0时，f的形式为两个三角函数，代入边界条件分析λ应满足cos√λ=0，所以λ=(2n-1)²π²/4（对应每个正整数n，共有无穷多个），每个λ又对应一个解，所以最后关于x的通解是n个解的和；
在没有其它关于g的条件时方程的通解就是这个特解乘以关于t的任意函数。
题目的后两问就是添加关于t的边界条件从而解出g的方法（特别注意要把λ代入g的方程），解法就是经典的一阶微分方程的解法，留给题主自行解决。最后再把关于x和t的解乘起来就OK了！
网页书写比较麻烦，请参考《数理方程》中有关分离变量法的部分。

Answer 2

一阶的可用特征方程法：
先求du/dt+a du/dx=0的特征线：
dt/1=dx/a
得：x-at=C1
得：u=f(x-at)
再求du/dt+adu/dx=c的解
设u*=pt+qx+r, 则代入原方程有: p+aq=c, 得：p=c-aq
即u*=(c-aq)t+qx+r=q(x-at)+ct+r,
将q(x-at)合并到f(x-at)里，有：
所以通解为u=f(x-at)+ct+r , 这里f为任意一阶可微函数，r为任意常数。

追问

非常感谢您的回答，还有个两个小问题：
1.特征线是怎么求的呢？我当时想那个齐次方程解的时候是按全微分想的。
2.如果有边界条件是不是就可以解出来那个f，然后再有初始条件就可以得到任意时刻u的值了呢？

另外，什么书上有讲这些简单偏微分方程解法的？我看很书都讲的是什么抛物线、双曲线型的，对于我来说不是很有帮助，我只需要一阶的做法。

追答

特征线法可以百度一下:http://wenku.baidu.com/view/ddf4830a79563c1ec5da714a.html
加上边界条件通常可以解出那个f, 再有初始条件就可以得到任意时刻u的值