Question

抽象代数的题，子群

Answer 1

一般我把中心，记为C，所以开始楞没看懂。。。。。

为书写方便，记z^k=zk k是整数。

zH,z2H,...,znH中至少有一个等于H
设k是在1,2,...,n中最小的使得zkH=H成立的k，等价于最小的非负整数使得zk属于H

任取1<=i<j<=k
任取a属于
azj(azi)^(-1)
=az(i-j)a^(-1) 应用z在中心内，az(i-j)也在中心内。
=z(i-j)aa^(-1)
=z(i-j)
因为1<=i-j<k,故z(i-j)不属于H

故azjH不等于aziH
故k可以整除n，（这个结论类似商群的元素的证明，过程差不多）

又因为zk属于H，故zn属于H。