Question

如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是

BD的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线．

Answer 1

：(1) ∵  CO=OD/2   CD⊥AO

             ∴ ∠CDO=30°          (在直角三角形中30°所对边=斜边的一半）

             ∴ ∠AOD=60°

       (2) 如图

           

 

             ∵ DOB弧=180°-60°=120°

                 点E是DB弧中点 

             ∴  EB弧=60°

             ∴   ∠EAB=∠CDO=30° 

             ∵   ∠1=∠2

             ∴  ∠DFA=∠ACD=90° 

             ∵  AE//PD

             ∴   ∠PDO=90° 

             ∴   PD是半圆O的切线

追问

那么怎样证明四边形PAED是平行四边形呢？ 期待你的快速回答！

追答

连接DE和AD
∵E是弧BD是中点，圆心角∠BOD=120°
∴∠BAE=∠EAD=1/2(1/2∠BOD)=1/4×120°=30°(圆周角=1/2圆心角）
∴∠PAE=180°-∠BAE=180°-30°=150°
∵DP∥AE
∴∠PDA=∠EAD=30°
∴∠AED=∠PDA=30°(弦切角=所夹弧上的圆周角）
∴∠PAE+∠AED=150°+30°=180°
∴DE∥PA
∵DP∥AE
∴四边形PAED是平行四边形

Answer 2

 如图OD＝2OC   ∴∠AOD＝60º

∴⊿DAO是正三角形 DC平分∠ADO   ∠ADB＝90º   

（2）求证：PD是半圆O的切线．????似乎有问题，假如：PD是半圆O的切线，则∠PDA＝30º

∠AEO＝30º﹙PD∥AE  AD∥OE中位线﹚。看⊿AEO 设OE＝1 则OA＝2 ∠AOE＝120º

AE²＝1¹+2²-2×1×2×﹙-1/2﹚＝7   

sin∠AEO＝2×﹙1/2﹚/√7＝1/√7≠1/2     ∠AEO≠30º   矛盾。