Question

，x趋于0，<ln(1+x)-x>/x2无穷小怎么代换?

如题。要严谨点的哦。
对了，忘记说明了，不要用罗比达法则，就用无穷小对分子分母代换，可以做出来么？

Answer 1

lim(x->0)[ln(1+x)-x]/x^2
=lim(x->0)[1/(1+x)-1]/2x【洛必达法则】
=lim(x->0)[-x/(1+x)]/2x
=-1/2
或者用泰勒 由ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
得：
lim(x->0)[ln(1+x)-x]/x^2
=lim(x->0)[x-x^2/2+o(x^2)-x]/x^2
=lim(x->0)[-x^2/2+o(x^2)]/x^2
=-1/2+0
=-1/2

追问

对了，忘记说明了，不要用罗比达法则，就用无穷小对分子分母代换，可以做出来么？

追答

注意不可以用 ln(1+x)~x (x->0)来代换
用泰勒是可以的。即 ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)

Answer 2

洛必达法则，上下同时求导得(1/(x+1)-1)/2x=-x/(2x(x+1)),x=0代进去就解得-1/2

追问

对了，忘记说明了，不要用罗比达法则，就用无穷小对分子分母代换，可以做出来么？