Question

设函数f(x)=a/x+xlnx ，g（x）=x3-x2-3

（1）当a=2时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程
（2）如果存在x1，x2属于0《x《2，使得g（x1）-g（x2）》M成立，满足上述条件的最大整数M是

Answer 1

(1): a = 2 ==> f(x) = 2/x + xlnx ==> f(1) = 2 即：切点坐标：(1,2) 切线过切点。下面只要求出切线斜率即可。
切线斜率一般求法为求导:
f ' (x) = (2/x + xlnx)' = - 2/(x^2) +lnx + 1
斜率k = f ' (1) = -2 + 1 = -1
切点（1，2），斜率 k = -1
切线方程为： y - 2 = -1 * (x - 1) ==> y = -x + 3

(2):题目意思变换一下，就是求 g(x) 在 区间[0, 2]上的最大值和最小值，然后一减，就能求出M
（这里我理解成闭区间，若为开区间，理解起来难点）
同样，方法是求导，令导数为0，求得两个极值点，然后和端点值比较，得出最大值最小值
所以有： g ' (x) = 3x^2 - 2x = 0 ==> x = 0 或者x = 2/3
下面求三个点的函数值：
x = 0时，g(0) = -3
x = 2/3时， g(2/3) = -85/27
x = 2时， g(2) = 1
比较大小 -85/27 < -3 < 1
x1 = 2 x2 = 2/3 g(x1) -g(x2) = 112/27
所以 M 取不大于 112/27 的最大整数，为 4 （108/27）

希望对你理解有帮助～主要是用导数的方法，要好好掌握～