Question

函数的周期性与对称性

已知f(x)是定义域为R的函数 若函数y=f(x+4)为奇函数 f(x)在区间[4,+∞)解析式 为f(x)=4/x-x+3 求f(X)在R上的解析式

Answer 1

∵函数y=f(x+4)为奇函数
∴y=f(x+4)图像关于原点对称
∵将y=f(x)图像向左平移4个单位
得到y=f(x+4)的图像
∴将y=f(x+4)图像向右平移4个单位即
得到y=f(x)图像
∴y=f(x)的图像关于O'(4,0)对称
f(x)在区间[4,+∞)解析式 为f(x)=4/x-x+3
任取x<4,,则8-x>4
∴f(8-x)=4/(8-x)-(8-x)+3=4/(8-x)+x-5
∵y=f(x)的图像关于O'(4,0)对称
∴f(x)=-f(8-x)=4/(x-8)-x+5
∴f(x)在R上的解析式为
{4/x-x+3 , (x≥4)
f(x)={4/(x-8)-x+5 ,(x<4)

Answer 2

因为函数y=f(x+4)为奇函数，所以f(x)关于点（4,0）对称。设点（x,y）在f(x)的图像上，又因为关于点(4,0)对称 则将（8-x,-y）代入函数f(x),得y=4/(x-8)-x+5。
所以f(x)=4/(x-8)-x+5(x<4),f(x)=4/x-x+3(x>=4)

Answer 3

因为f(x+4)是奇函数，所以
f(-x+4)=-f(x+4)
所以此函数是关于点(4,0) 点对称的
当x<4时，-x> - 4,
8-x>4
f(8-x)=4/(8-x)-(8-x)+3=4/(8-x)+(x-5)
因为f(x)关于（4，0)点对称所以
f(x)= - f(-x+8)=-4/(8-x)-x+5
f(x)={ -4/(8-x)-x+5 (x<4)
{4/x-x+3 (x≥4)

追问

能不能取x>4啊？ 8-x<4

追答

不能，因为这里的x是【4，+∞）的不是它自己的区间的，它自己的区间是：
（-∞,4),这在做别人的区间里的变量，而不是自己！

Answer 4

[高三数学]函数对称性与周期性

Answer 5